インターネットの検索は、誰でも手軽に使っておられると思います。が、人によって、検索に利用するブラウザも検索エンジンも異なっているかと思います。利用するサービスによって操作も異なったりするので、なかなかエイッと一刀両断してしまえません。で、ともかくWindows10の標準ブラウザであるEdgeを使って…と言う風に限定してみます。
Edgeで、閲覧履歴を削除するには、
右上の[ハブ(星みたいなボタンです)]から、左側で[履歴]を選択すると、閲覧履歴が表示されます。
右上の[履歴のクリア]をクリックすると、消去するデータを細かく選択する事ができるウィンドウが表示されますので、必要なものにチェックをつけて[クリア]ボタンを押して削除します。
このウィンドウは、Edgeの右上の「…」から[設定]を選択し
[クリアするデータの選択]ボタンをクリックすることでも表示させることができます。
但し、お気づきのように、これはあくまで「閲覧履歴」の削除であって、「検索履歴」ではありません。 Edgeでは、検索を行った際のキーワードが、検索履歴として「プライバシーダッシュボード」というWebページに自動的に保存されます。パソコンにサインインする際のMicrosoftアカウントと紐づけられていますので、検索データ履歴を削除するには、Microsoftアカウントにサインインする必要がありようです。
同じく[…][設定]から、
[詳細設定を表示]ボタンを押します。
「Bingの検索履歴をクリア」ボタンをクリックすると、
「検索履歴の表示と削除」ボタンを押します。
Microsoftへのサインインが要求され、

ユーザー名とパスワードを指定してサインインすると
「プライバシーダッシュボード」に入れます。
この中で「検索履歴を消去する」事ができるようです。検索履歴は、Web上に保存されていますので、Web上の自身のエリアに入らないと削除はできないと思われます。
逆に言うと、ローカルアカウントの検索履歴は、これでは削除できません。ローカルアカウントの検索履歴は、保存済みのWebサイトデータを削除することで、検索履歴が削除される仕組みになっています。保存済みのWebサイトデータを削除するには、上述の「閲覧履歴」の削除方法を実行してください。
因みに、こんなに面倒なら、履歴は残さなくて良い…と言う方は、
この「閲覧データのクリア」のウィンドウで、「ブラウザーを閉じるときに、常にこれを消去する」をオンにしておいてください。自動的に毎回閲覧履歴がクリアされて残りません。
また「検索履歴」を残したくない…と言う場合は、Edgeの「InPrivateウィンドウ」を利用するのも一法です。[…]から[新しいInPrivateウィンドウ]を選択すると、
InPrivateウィンドウが立ち上がります。ここでは、Cookie、履歴、一時ファイルといった閲覧データがデバイスに保存されません。検索履歴やフォーム入力履歴なども残りませんので、気になる…方には便利かも知れません。