Outlookのメールボックスの容量についてお尋ねだと思うのですが、その前に「Outlook.com」と「Outlook」の違いについて触れておきたいと思います。
言葉が非常に良く似ていますので、とてもややこしいですね。その昔(笑)メールソフトの定番として「Outlook Express」が搭載されていた頃も「Outlook Express」と「Outlook」の名称が非常によく似ていて、混同される方が多かったことを思い出します。何故、似た名称を使うのでしょうか。。。。
Outlook.comはMicrosoftが提供しているWebベースの無料メールです。Outlook.comアカウントを所有している場合、Web上でOutlook.comにサインインし、メールの送受信が可能です。言い換えるとOutlook.comのメアド以外で利用する事はできません。これに対して、outlookはコンピューター上で利用するOfficeのメールアプリです。他のメールプロバイダーのアカウントで利用することができます。もう少し説明を加えると、「Outlook.com」と「Outlook」の最大の違いは、「どこにメールを保存しておくか」の違いと言えるかもしれません。
「Outlook.com」を使う場合は、個人のメールやアドレス帳をマイクロソフトのサーバー上に保管しておくことになります。無料で「Outlook.com」を利用している場合は、アカウントごとに15GBのメールストレージが提供されています。Office 365などを利用している場合、この容量はもっと多くなります。「Outlook」アプリを利用している場合、それぞれのプロバイダごとに定められた最大容量というのはあるかもしれませんが、データを自分のパソコン内に置くことができます。ですから、パソコン内の容量に余裕があれば、メールを保存しておくことが可能だということになります。

「Outlook」アプリを利用されている…として、メールボックスの容量確認の方法を載せておきます。[ファイル][情報]を選択し、[ツール]から[メールボックスの整理]を選択します。
[メールボックスのサイズを表示]をクリックすると
現在使われているサイズが示されます。メールボックスはデスクの書類と同じで、アイテムが作成される度にそのサイズは大きくなっていきます。紙の書類を管理する場合にも、時折整理して、重要な書類を別の場所に移動させたり、旧いものから処分したりすると思いますが、Outlookのメールボックスもそれと同様で、どんどん増える一方ですので、時折、書類の整理が必要になるかと思います。
上述の[ツール]からは「削除済みアイテム フォルダーを空にする」「古いアイテムのクリーンアップ」等を利用することができます。
「削除済みアイテム フォルダーを空にする」を選択すると、上図の警告が表示され、「はい」を選択するとその分容量が増えるはずです。「削除済みアイテム フォルダー」というのは、パソコンの「ごみ箱」と同じで、削除はしたものの完全に消えているわけではありませんから、パソコン内の容量を占領しています。必要なものは再度取り出すことが可能な状態です。空にすることで、もう復活させることはできなくなります。が、メールボックスは軽くなります。
「古いアイテムのクリーンアップ」を選択すると、日付を自分で指定して、それより古いアイテムを別場所に移動させることができます。移動先も自分で設定することが可能です。
また、Outlookというより、利用しているプロバイダの制限がある場合があり、インターネット上のサーバーのメールボックスが一杯になってしまって新たなメールが受信できないことがあります。プロバイダによって異なると思いますが、サーバー上のメールボックスの容量にも上限があります。「サーバーにメッセージのコピーを残す」という設定にしていると、どんどんメールボックスの内容が増えていくことになります。コピーを置かないようにする、もしくは一定日数を過ぎた古いメールを自動的に削除する設定をすることで、サーバー上のメールボックスの容量を管理することができます。
[ファイル][情報]から[アカウント設定][アカウント設定]を選択します。
メールタブで利用しているメールアドレスを選択し、[変更]ボタンをクリックします。
「メールの設定」の個所に「サーバーにメッセージのコピーを残す」のチェックボックスがあります。更に「サーバーから削除する」までの日数を指定することができます。